2014考研数学三真题深入分析之导数的定义

by admin on 2019年12月16日

  2015考研[微博]数三真题相比去年来说,难度稍微降低了一些,对于微积分、线性代数和概率统计各科的题目都没有去年的难度大。对于证明题几乎是每个学生的弱点,但是今年的证明题相对来说都比去年的简单,下面老师就19题中第一小问的证明进行一下分析。

  今年的数学试题和以往的命题思路、思想方法都是连贯的、稳定的。今年数学整体情况数学题出得比较科学,完全符合2014年考试大纲的要求,各个数学卷子包括数学一,数学二,数学三,整体的难度跟去年持平,完全符合大纲的要求。总体上来说大部分题目还是适中的,有少量题目是难的。出题的范围、出题的深度我觉得也是比较合适的,没有偏题、怪题,难度适中,考查的重点就是考研[微博]数学大[微博]纲中所要求的重点,而且区分度会比较好。

考研数学每年必考证明题,证明题都会出什么题?怎么证?下面就来看看数学证明题的类别及证法。

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图片 12015考研数学三真题解析之导数的定义

  今年考试的四大特点,第一就是内容覆盖面比较广,没有出现偏题和怪题,难度适中,而且可区分度好。注重基础的考查,三个卷子都考查了基本题型求渐近线、计算4阶行列式、求未定式的极限、二元函数的极值等。第二就是加强了概念、公式、性质、定理之间的综合性的考查。比如数学一、二、三考二元函数偏导数和微分方程的综合题,利用对称性化简二重积分并利用极坐标计算的综合题等等。第三,计算量相对的来讲比往年的计算量缩小了,往年计算量偏大,甚至有些是烦琐的推导计算。今年计算量相往年比计算量偏少,但是考察点完全一样,知识的覆盖面更广了。比如数学一考了利用Stokes公式计算曲线积分的填空题,数学二考了曲率半径的填空题,都考了二次型中负惯性指数的概念题。第四,就是加强能力的考查,题目更加灵活,更能反映出学生的科学思维品质和创新能力,避免死记硬背和单纯模仿。

考研数学难题一般出现在高等数学部分,高等数学题目中比较困难的是证明题,对历年考研真题分析得出最容易出证明题的地方如下:

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  这两题都是直接从导数的定义出现求极限,没有难度,是基本类的题目。不同的是,今年的题目主要是利用导数的定义恒等变形,而2008这道题目主要是利用积分中值定理进行证明。希望2016考研的考生在明年的复习中注意好好利用真题的价值。

  选择题和填空题整体的难度和去年持平,出的题都是概念、公式、性质、定理的熟练程度,准确程度。这些基本知识主要是考察你对大纲上所要求的概念、公式性质、定理,你理解的准确度和应用。有一些少量的题目,我觉得它并不是非常基本,主要体现在填空题里,就是关于无偏估计的计算,这道题稍微难一点。

一、数列极限的证明

主持人:各位网友,大家好!2011年全国研究生数学考试在上午已经结束了,可能很多考生已经对自己的考研数学有了一定的了解,今年数学试题的情况是什么样呢?今天我们特别邀请了万学海文的赵达夫老师来作客我们的访谈直播间,就今年数学试卷的整体情况做一个详细的分析和解答,首先我们欢迎一下赵老师的到来,赵老师,您好wyS北京交通大学新闻网

  文章来源:文都教育

  解答题都是考查综合的计算能力,推理能力和证明能力和应用能力,今年计算题的计算量比较适中,但是并不是很简单,并不是很好做。因为每一个题都需要你对概念、公式、性质、定理把握得非常好。而且尤其解答题每一步都应该在转折过程中找到转折的方向。

数列极限的证明是数一、二的重点,特别是数二最近几年考的非常频繁,已经考过好几次大的证明题,一般大题中涉及到数列极限的证明,用到的方法是单调有界准则。

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  但是今年综合性很强的题目有,尤其是在高等数学中,你像数一高等数学第19题,是两问,一证明一个不等式,要利用数列极限存在定理。二,证明一个正项数列的收敛性。这个证明过程要用到好多数学上常用的一些方法,这就需要你的综合性,完整的做出来并不是很容易的。这样的综合性的题一定要把每一部分的知识点搞透,而且他们之间的联系要搞好。才能够对这个解答题完整的做出来。其实解题时往往切入点很重要,看到这种题,首先第一步你应该想到用什么样的概念、公式、性质、定理去切入,切入进去以后每一步都容易出现错误,要保证每一步对,那么你的综合能力要体现得很好。

二、微分中值定理的相关证明

赵达夫:同学们好!wyS北京交通大学新闻网

  每年高等数学都有证明题,我们知道高数的证明题是考生们比较容易失分的题目,证明题本身就是在23个题当中算是中等难度偏上的题,今年各个卷种,高等数学的证明题也比较难,这是客观存在的。今年数二和数三的证明题跟往年的证明题持平,证明过程中要用到好多综合的知识,考察一个同学综合的数学素质的高低。但是我们的证明题往往命题出得很好,好在,第一问用积分不等式的性质一般是可以证明出来的,第二问需要把常数b改为未知数x,设辅助函数,并求导、利用单调性证明。总之,今年高等数学证明题的难度跟往年持平。

微分中值定理的证明题历来是考研的重难点,其考试特点是综合性强,涉及知识面广,涉及到中值的等式主要是三类定理:

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  现在考生们可能最关心的问题就是分数线的问题,根据多年的考研辅导经验,我感觉今年的数学试卷的难度和往年基本上类同,由于我们的大纲没有变化,而考试的题完全符合大纲的要求,命题组的老师又比较有水平,所以,我感觉2014年的分数线要与2013年的分数线持平或略低一点,数学理工类可能在55分到60分,数学经济类可能在75分左右。但是要取得高分非常难,你要取得125分以上也是非常非常难。正常情况下经过努力90分到120分,这算中等偏上的同学。

1.零点定理和介质定理;

主持人:赵达夫老师是中国顶级考研数学辅导专家,国务院特殊津贴专家,连续16年全国硕士研究生入学数学考试,国家阅卷组高等数学组组长,连续十年教育部数学指导委员会高级专家成员,北京交通大学资深教授数学部主任。wyS北京交通大学新闻网

  因为2014年考生已经考完了,现在好多备考2015年的考生已经准备复习数学了。我觉得数学备考一定要遵循八个字:尽早复习,持之以恒。因为数学都是考生在大学一二年级所学过的,现在进入大三大四都已经基本忘掉了,数学除了看以外还要练,这是数学本身的一个特点。

2.微分中值定理;

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  建议2015年考生对2015年备考一定要准备一些材料。

包括罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理和泰勒定理,其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题,考查频率底,所以以前两个定理为主。

赵老师,请您给大家介绍一下今年数学的整体情况,它的难易程度和去年相比有什么样的变化呢?wyS北京交通大学新闻网

  第一,一定要有2014年数学入学考试大纲。这个是教育部考试中心编的,最有权威,因为教育部考试中心数学考试不指定任何的参考书,也不指定任何教科书,它惟一考试的依据就是。所以,一定要使每个考生知道,我要有数学,数学明确地规定了每一章考试的内容和考试的要求,这是第一个工具书。

3.积分中值定理

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  第二,你要想考研,历年真题非常重要,2015年的考生,同学们现在开始准备了,一定要高度重视真题,近10年到15年的真题就是完全按照考试大纲来的,真题的题型重复率80%到90%。真正从来没有见过的题型不到5%。因为它的出题的依据,命题组的老师出题的依据就是考试大纲,大纲上要求的内容就可以考,大纲上不要求的内容绝对不能考,所以大家在备考过程中,高度重视真题。这个真题不是2013年的真题和2012年或者是2011年的真题完全一样,是把近十年的真题拿来,然后把近十年的真题按照大纲一章一章的内容最后都列出来,我们发现真题题型的重复率将近90%。真题是命题组老师出题的捷径,又代表了命题的方向,它比所有参考书的题都好。

积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。

赵达夫:今年数学整体情况数学题出得比较科学,完全符合考试大纲的要求,2011年数学考试大纲的要求,各个卷子当然包括数学一,数学二,数学三,整体的难度跟去年的基础上下降了一点,这个难度下降一点是在我们的预料之中的,因为2010年数学考试偏难,个别题偏怪。造成整体录取线下降,今年数学试卷难度有所降低,完全符合大纲的要求。这个降低体现在今年数学一和数学二有一个选择题,整个数学一、数学二,高等数学选择题,包括现在和概率,难度基本上不是特别难。基本就是考察概念、公式、性质、定理你的熟练程度和准确程度。wyS北京交通大学新闻网

  第三,要有教科书,现在大家备考都是基础阶段,尤其是要抓住寒假,1月中旬就放寒假了,一定要抓住放寒假一个月的时间,刻苦的对着大纲认真看教科书,看教科书上大纲所要求的概念、公式、性质、定理,要真正理解,一定要知道概念的叙述,数学的含义,更要知道这个概念和其他概念之间的关系。教科书是我们备考的母体,也是最好的参考书,因为我们发现所有的真题,你只要给它进行化解一步到两步,所有的真题的题型在我们教科书的例题中都有所反映。

在考查的时候,一般会把三类定理两两结合起来进行考查,所以要总结到现在为止,所考查的题型。

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第一类是方程根的问题,包括方程根唯一性和方程根的个数的讨论题。

去年数学一、数学二都有一个选择题,其实这道选择题严格来讲有一点超纲,就是考察广义积分的列扇形,从解答题都是考察综合的计算能力,推理能力和证明能力和应用能力,计算题的计算量比去年各个卷种有所下降,这样就造成了难度比去年整体上稍微下降一点,但是并不是很简单,并不是很好做。因为每一个题都需要你对概念、公式、性质、定理把握得非常好。而且尤其解答题每一步都应该在转折过程中找到转折的方向。wyS北京交通大学新闻网

第二类是不等式的证明题,包括定积分等式和不等式的证明题。

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主要涉及的方法有微分学的方法——常数变异法和积分学的方法——换元法和分部积分法。

主持人:请赵老师看一下今年的选择题和填空题的难度水平是什么样呢?wyS北京交通大学新闻网

以上是容易出证明题的地方,同学们在复习的时候要重点归纳这类题目的解法。那么,遇到这类的证明题,我们应该用什么方法解题呢?

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第一步,结合几何意义记住基本原理

赵达夫:选择题和填空题整体的难度和去年持平,在持平的基础上稍微降低一点,降低就是体现在去年数学一、数学二有一个反常积分的题,大部分同学做得都不好,考察MN为和值时,那个反常积分是收敛的,跟谁有关。像这样的题按照严格意义上讲大纲并不是严格要求,今年这样的题没有出现,出的题都是概念、公式、性质、定理的熟练程度,准确程度。wyS北京交通大学新闻网

重要的定理主要包括零点定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理,包括条件及结论。

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知道基本原理是证明的基础,知道的程度不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在,求值是很容易的,但是如果没有证明第一步,即使求出了极限值也是不能得分的。

主持人:都是比较基础的一些题。wyS北京交通大学新闻网

因为数学推理是环环相扣的,如果第一步未得到结论,那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单,只用了极限存在的两个准则之一:单调有界数列必有极限。只要知道这个准则,该问题就能轻松解决,因为对于该题中的数列来说,“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多,更多的是要用到第二步。

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第二步,借助几何意义寻求证明思路

赵达夫:是这样的。wyS北京交通大学新闻网

一个证明题,大多时候是能用其几何意义来正确解释的,当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题,可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图,再联系结论能够发现:两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点,那就是两个函数分别取最大值的点之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。

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再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题,只要在直角坐标系中结合所给条件做出函数y=f(x)及y=1-x在[0,1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点,这就是所证结论,重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反,也就是差函数在两个端点的值是异号的,零点存在定理保证了区间内有零点,这就证得了所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话,转第三步。

主持人:今年有没有计算量比较大的题目呢?wyS北京交通大学新闻网

第三步,逆推法

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从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题,该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题:即从结论出发构造函数,利用函数的单调性推出结论。

赵达夫:计算量比较大的题目没有,但是计算量综合性很强的题目有。尤其是在高等数学,你像数学一高等数学第18题,是两问,一证明一个不等式,要利用拉格朗中值定理,或者是用导数。二,证明一个数列的收敛性,往往证明这个数列的收敛性要跟一个无穷级数部分和联系起来,证明这个数列收敛的充分必要条件。极限是否存在,这个转换过程要用到好多数学上常用的一些方法,这就需要你的综合性。wyS北京交通大学新闻网

在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系,正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性,非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况),这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性,再用一阶导的符号判定原来函数的单调性,从而得所要证的结果。

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对于那些经常使用如上方法的考生来说,利用三步走就能轻松收获数学证明的10分,但对于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说,却常常轻易丢失10分,后一部分同学可以按“证明三步走”来建立自信心,以阻止考试分数的白白流失。

还有二重积分计算题,数学三它的难度降低一点,这道题要转换成累式积分,同时交换积分次序,每一步不难,完整的做出来并不是很容易的。wyS北京交通大学新闻网

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主持人:高数在数学考研当中占比较大的比重,也是比较重要的。今年高数您分析一下,和往年相比有没有它的难度区别什么的?wyS北京交通大学新闻网

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